Le sujet de cet exposé est le travail récent de Mihăilescu, qui a démontré que l'équation $x^p-y^q=1$ n'a pas de solutions en entiers non-zero $x,y$ et premiers impairs $p,q$. En combinaison avec les résultats de Lebesgue (1850) et Ko Chao (1865), ceci implique l'hypothèse célèbre de Catalan (1843) : l'équation $x^u-y^v =1$ n'a pas de solutions en entiers $x,y >0$ et $u,v>1$ sauf $3^2-2^3 = 1$. Avant ce travail de Mihăilescu, le résultat le plus définitif sur le problème de Catalan était celui de Tijdeman (1976), qui a démontré que les solutions de l'équation de Catalan sont bornées par une constante absolue effective.