Les valeurs aux entiers pairs (strictement positifs) de la fonction $\zeta$ de Riemann sont transcendantes, car ce sont des multiples rationnels de puissances de $\pi$. En revanche, on sait très peu de choses sur la nature arithmétique des $\zeta (2k+1)$, pour $k \geq 1$ entier. Apéry a démontré en 1978 que $\zeta (3)$ est irrationnel. Rivoal a prouvé en 2000 qu'une infinité de $\zeta (2k+1)$ sont irrationnels, mais sans pouvoir en exhiber aucun autre que $\zeta (3)$. Il existe plusieurs points de vue sur la preuve d'Apéry ; celui des séries hypergéométriques permet d'obtenir à la fois les théorèmes d'Apéry et de Rivoal.