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Algèbre des descentes et cogroupes dans les algèbres sur une opérade

Descent algebra and cogroups in algebras over an operad

Benoît Fresse
Algèbre des descentes et cogroupes dans les algèbres sur une opérade
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  • Année : 1998
  • Fascicule : 3
  • Tome : 126
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 16~W~0, 18~C, 05~E~10
  • Pages : 407-433
  • DOI : 10.24033/bsmf.2331
On considère l'algèbre des descentes graduée complétée Σ=nΣn associée aux groupes symétriques Sn. Les idempotents eulériens enΣ forment une famille d'idempotents orthogonaux dans Σ. On fixe une opérade algébrique P et on travaille dans la catégorie des P-algèbres graduées. Soit R une P-algèbre graduée connexe munie d'une structure de cogroupe. On montre que Σ agit de façon naturelle sur R ; par suite, on obtient une décomposition naturelle R=nenR. On montre que la composante e1R engendre R librement comme P-algèbre. Dans le cas des algèbres commutatives P=Com, on retrouve un théorème de structure ique sur les algèbres de Hopf commutatives.
We consider the complete graded descent algebra Σ=nΣn which is associated to the symmetric group Sn. The eulerian idempotents enΣ form a sequence of orthogonal idempotents in Σ. Fix an algebraic operad P ; we work in the category of graded P-algebras. Let R be a connected graded P-algebra equipped with a cogroup structure. We show that R supports a canonical Σ-action. As a consequence, we obtain a decomposition R=nenR. We show that the component e1R generates R freely as an P-algebra. In the case of commutative algebras P=Com, we recover a ical structure theorem on commutative Hopf algebras.
cogroupe, algèbre des descentes de Solomon, opérade


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