SMF

Décomposition en profils pour les solutions des équations de Navier-Stokes

Profile decomposition for solutions of the Navier-Stokes equations

Isabelle Gallagher
Décomposition en profils pour les solutions des équations de Navier-Stokes
     
                
  • Année : 2001
  • Fascicule : 2
  • Tome : 129
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 35B45, 35Q30, 76D05
  • Pages : 285-316
  • DOI : 10.24033/bsmf.2398
On considère des suites de solutions des équations de Navier–Stokes dans ${\mathbb R}^3$, associées à des suites de données initiales bornées dans $\dot H^{1/2}$. On montre, dans l'esprit du travail de H. Bahouri et P. Gérard (dans le cas de l'équation des ondes), qu'elles peuvent être décomposées en une somme de profils orthogonaux, bornés dans $\dot H^{1/2}$, à un terme de reste près, petit dans $L^3$ ; la méthode s'appuie sur la démonstration d'un résultat analogue pour l'équation de la chaleur, suivi d'un argument de perturbation. Si $\mathcal A$ est un espace « admissible »(en particulier $L^3$, $\dot B^{-1+3/p}_{p,\infty }$ pour $p < +\infty $ ou $\nabla {B\mkern -1mu M\mkern -1mu O} $), et si ${\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ est la plus grande boule de de $\mathcal A$ centrée en zéro, telle que les éléments de $\dot H^{1/2}\cap {\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ génèrent des solutions globales, alors on obtient en corollaire une estimation a priori pour ces solutions. On montre aussi que l'application associant une donnée dans $\dot H^{1/2}\cap {\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ à sa solution est lipschitzienne.
We consider sequences of solutions of the Navier-Stokes equations in ${\mathbb R}^3$, associated with sequences of initial data bounded in $\dot H^{1/2}$. We prove, in the spirit of the work of H. Bahouri and P. Gérard (in the case of the wave equation), that they can be decomposed into a sum of orthogonal profiles, bounded in $\dot H^{1/2}$, up to a remainder term small in $L^3$ ; the method is based on the proof of a similar result for the heat equation, followed by a perturbation–type argument. If $\mathcal A$ is an “admissible” space (in particular $L^3$, $\dot B^{-1+3/p}_{p,\infty }$ for $p < +\infty $ or $\nabla {B\mkern -1mu M\mkern -1mu O} $), and if ${\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ is the largest ball in $\mathcal A$ centered at zero such that the elements of $\dot H^{1/2}\cap {\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ generate global solutions, then we obtain as a corollary an a priori estimate for those solutions. We also prove that the mapping from data in $\dot H^{1/2}\cap {\mathcal B}_{_{\!{N\mkern -2mu S}}}^{{\mathcal A}}$ to the associate solution is Lipschitz.
Navier–Stokes, explosion, profils, estimation a priori, espace admissible
Navier–Stokes, explosion, profiles, a priori estimate, admissible space


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