Soit $f:\mathbb {P}^k \rightarrow \mathbb {P}^k$ une application rationnelle dominante de premier degré algébrique $\lambda \geq 2$. Lorsque $S$ est un courant positif fermé de bidegré $(1,1)$ sur $\mathbb {P}^k$ dont les nombres de Lelong sont tous nuls, nous montrons, sous une hypothèse dynamique naturelle, que les pull-backs $\lambda ^{-n}(f^n)^*S$ convergent vers le courant de Green $T_{\mkern -1mu f}$. Pour certaines familles d'applications, des résultats de convergence raffinés nous permettent de caractériser tous les courants $f^*$-invariants.