Nous considérons une large e de variétés hyperboliques non-compactes $M= \mathbb H ^n/\Gamma $ possédant des cusps et nous démontrons que le processus $(Y_t)$ engendré par une forme fermée portée par un voisinage d'un cusp $\mathcal C $ converge en loi vers une loi stable ; la loi limite et le facteur de renormalisation dépendent de la nature du cusp et de l'exposant de Poincaré $\delta $ du groupe $\Gamma $. Aucune restriction sur la valeur de $\delta $ n'est imposée et cet article généralise ainsi toute une série de résultats dus à Y. Guivarc'h, Y. Le Jan, J. Franchi et N. Enriquez.