Soit $\Gamma \rightarrow {\widetilde M} \rightarrow M$ un revêtement galoisien à bord. Dans cet article, nous développons un $b$-calcul pseudodifférentiel sur $\widetilde M$. Ceci nous permet de prouver un théorème de l'indice supérieur d'Atiyah–Patodi–Singer, pour un opérateur de Dirac $\widetilde D$ sur $\widetilde M$, sous l'hypothèse que le groupe $\Gamma $ est à croissance polynomiale par rapport à une métrique des mots et que zéro est un point isolé du spectre $L^2$ de l'opérateur de bord $\widetilde {D_0}$. Notre résultat généralise des travaux d'Atiyah–Patodi–Singer, Connes–Moscovici et Lott.