Nous démontrons que les transformées de Satake des intégrales orbitales unipotentes stables sur $\mathbf {Sp}(4)$ sont des fonctions régulières sur le tore unitaire de rang $2$. Nous retrouvons ensuite ces fonctions comme transformées de Satake de certaines traces de représentations du groupe $\mathbf {GL}(5)$. Nous essayons alors de décrire conjecturalement ce lien entre les groupes $\mathbf {Sp}(2n)$ et $\mathbf {GL}(2n+1)$ pour $n$ quelconque.

Résumé détaillé : Dans cet article, nous abordons quelques questions d'analyse harmonique sur les groupes réductifs $p$-adiques. Plus précisément, nous nous intéressons à la transformation de Satake des distributions unipotentes stables dans le cas des groupes déployés. Ce problème est motivé, d'une part par les travaux de M. Assem sur le calcul des intégrales orbitales unipotentes, et d'autre part par ceux de J.-L. Waldspurger sur la détermination de l'espace des distributions unipotentes stables. Cette question est facile pour les groupes linéaires mais inconnue en général. Dans ce travail, nous traitons le cas des groupes $\mathbf {Sp}(2n)$. Pour $n =2$, nous démontrons que ces transformées de Satake s'expriment comme des fonctions régulières sur le tore réel unitaire de dimension $2$. Nous montrons ensuite que ces fonctions peuvent également être retrouvées par la transformation de Satake des distributions de toute autre nature : les traces tordues compactes d'une famille explicite de représentations de $\mathbf {GL}(5)$. Ce phénomène peut s'expliquer par l'endoscopie tordue entre $\mathbf {Sp}(2n)$ et $\mathbf {GL}(2n+1)$ comme l'a remarqué Arthur. Pour $n >2$, on démontre dans un certain nombre de cas que les transformées de Satake de telles traces sont effectivement des fonctions régulières, d'une forme commune, sur le tore réel unitaire de rang $n$. On l'a en particulier vérifié pour $n \leq 4$. On s'attend à ce que ceci reste vrai pour $n$ quelconque. Grâce à ces calculs, on propose alors une conjecture assez précise qui décrit les transformées de Satake des distributions unipotentes stables sur $\mathbf {Sp}(2n)$.