L'objet de ce cours est de présenter la théorie des formes modulaires et certains de ses développements récents. Dans un premier chapitre, on développe la théorie des formes modulaires sur les sous-groupes de congruence $\Gamma _0(N)$. Dans un deuxième chapitre, on présente la notion de périodes de formes modulaires sur le groupe modulaire. On en déduit des résultats concernant les structures rationnelles des espaces de formes modulaires. Dans une troisième partie, on étudie les structures différentielles sur les espaces de formes modulaires. C'est l'occasion de développer les notions de forme quasimodulaire et forme modulaire presque holomorphe introduites par Zagier. Enfin, en annexe, on étudie la théorie des formes modulaires avec systèmes multiplicatifs.