On étudie d'abord des problèmes de contrôle de taille où intervient la transformation de Legendre pour eux-mêmes, i.e. en utilisant les structures et les méthodes les mieux adaptées. On résout ainsi certains problèmes concernant resp. l'intégrabilité exponentielle des v.a. positives, les applications radonifiantes, des problèmes déterminés de moments relatifs à des espaces localement convexes séparés quelconques et à certains états, et les relations qui existent pour toute forme linéraire $T$ sur une algèbre symétrique entre la taille de la suite des moments de $T$, la régularité de $\mathcal L T$ et la continuité de $T$. On montre finalement comment tous ces résultats constituent l'amorce d'une nouvelle approche de la théorie euclidienne des champs.