Nous étudions une adaptation au cas logarithmique de la pseudo-forme volume de Kobayashi-Eisenman, ou plutôt une adaptation de sa variante définie par Claire Voisin, pour laquelle elle remplace les applications holomorphes par des $K$-correspondances holomorphes. Nous définissons une pseudo-forme volume logarithmique intrinsèque $\Phi _{X,D}$ pour toute paire $(X,D)$ constituée d'une variété complexe $X$ et d'un diviseur de Weil à croisements normaux $D$ sur $X$, dont la partie positive est réduite. Nous prouvons que $\Phi _{X,D}$ est génériquement non dégénérée quand $X$ est projective et $K_X+D$ est ample. Ce résultat est analogue au théorème de Kobayashi-Ochiai ique. Nous montrons aussi l'annulation de $\Phi _{X,D}$ pour une grande e de paires log-$K$-triviales, ce qui est une étape importante en direction de la conjecture de Kobayashi sur l'hyperbolicité au sens de la mesure infinitésimale dans le cas logarithmique.