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Exposé Bourbaki 1083 : De Newton à Boltzmann et Einstein : Validation des modèles cinétiques et de diffusion

Exposé Bourbaki 1083 : From Newton to Boltzmann and Einstein : a derivation of diffusion and kinetic models

François GOLSE
Exposé Bourbaki 1083 : De Newton à Boltzmann et Einstein : Validation des modèles cinétiques et de diffusion
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  • Année : 2015
  • Tome : 367-368
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35Q20, 82A70 (35Q70,82B40,82C22.
  • Pages : 285-326
  • DOI : 10.24033/ast.949

La théorie cinétique des gaz de Maxwell et Boltzmann s'est trouvée au cœur de controverses scientifiques majeures. L'incompatibilité supposée entre le caractère réversible des équations de la mécanique ique et l'augmentation de l'entropie, qui, dans le cadre de la théorie cinétique des gaz, est une propriété mathématique de l'équation de Boltzmann connue sous le nom de théorème H, était l'un des arguments couramment utilisés contre la validité de cette théorie. Il a fallu attendre environ un siècle pour que O. Lanford propose, en 1974, une stratégie de preuve permettant de démontrer que l'équation de Boltzmann décrit une certaine limite asymptotique des équations de Newton de la mécanique ique pour un système formé d'un très grand nombre $N$ de particules sphériques identiques n'interagissant qu'au cours de collisions élastiques. Un travail récent de I. Gallagher, L. Saint-Raymond et B. Texier précise la preuve de Lanford et l'étend au cas où l'interaction entre particules est décrite par un potentiel à très courte portée. Un article ultérieur de T. Bodineau, I. Gallagher et L. Saint-Raymond étudie ensuite la dynamique d'une particule marquée parmi $N$ dans la même limite asymptotique, établissant ainsi la validité de l'équation de Boltzmann linéaire sur un intervalle de temps dont la longueur tend vers l'infini avec $N$. En utilisant des résultats aujourd'hui iques sur la théorie asymptotique de l'équation de Boltzmann linéaire, les mêmes auteurs démontrent que le processus stochastique connu sous le nom de mouvement brownien décrit une certaine limite de la dynamique déterministe de particules en interaction.

The kinetic theory of gases of Maxwell and Boltzmann has been a major source of scientific controversy. The alleged incompatibility between the reversible nature of the equations of ical mechanics and the increase of entropy, which, in the context of the kinetic theory of gases, is a mathematical property of the Boltzmann equation known as Boltzmann's H theorem, has been one of the arguments used against the validity of kinetic theory. In 1974, nearly a century later, O. Lanford proposed a strategy for proving that the Boltzmann equation describes a particular scaling limit of Newton's equations of ical mechanics for a system of a large number $N$ of spherical particles interacting by elastic collisions. A recent work by I. Gallagher, L. Saint-Raymond and B. Texier clarifies some missing details in Lanford's argument, and extends its validity to the case of molecular interactions described by short range potentials. In a further paper, T. Bodineau, I. Gallagher et L. Saint-Raymond discuss the dynamics of one tagged particle among $N$ identical, other particles in the same scaling limit, and prove the validity of the linear Boltzmann equation on time intervals growing to infinity with $N$. By using ical results on the asymptotic theory of the linear Boltzmann equation, the same authors prove that the stochastic process known as ‘the Brownian motion' describes a certain asymptotic limit of the deterministic dynamics of interacting particles.

Équation de Boltzmann, hiérarchie BBGKY, limite de Boltzmann-Grad, théorie cinétique, propagation du chaos, équation de Boltzmann linéaire, approximation par la diffusion.
Boltzmann equation, BBGKY hierarchy, Boltzmann-Grad limit, kinetic theory, propagation of chaos, linear Boltzmann equation, piffusion approximation.

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