Nous décrivons une approche nouvelle de la théorie de Hodge $p$-adique dans le cas relatif, fondée sur l'utilisation systématique des constructions des vecteurs de Witt et de la géométrie analytique non archimédienne à la manière de Berkovich et de Huber. Nous donnons un traitement approfondi des $\varphi $-modules sur un anneau de Robba relatif associé à un anneau de Banach parfait de caractéristique $p$, qui inclut le lien entre ces objets et les $\mathbb {Z}_p$-systèmes locaux étales et les $\mathbb {Q}_p$-systèmes locaux sur les espaces algébriques et analytiques associés à l'anneau de base, ainsi que le lien entre la cohomologie (pro-)étale et la $\varphi $-cohomologie. Nous établissons aussi un lien critique avec la caractéristique mixte en exhibant une équivalence de catégories tensorielles entre les algèbres étales finies sur une algèbre de Banach parfaite arbitraire sur un corps non trivialement normé complet de caractéristique $p$, et les algèbres étales finies sur une $\mathbb {Q}_p$-algèbre de Banach correspondante. Ceci redonne l'homéomorphisme entre les groupes de Galois absolus de $\mathbb {F}_p (( \pi ))$ et de $\mathbb {Q}_p(\mu _{p^\infty })$ donné par le corps des normes de Fontaine et Wintenberger, ainsi que des généralisations considérées par Andreatta, Brinon, Faltings, Gabber, Ramero, Scholl, et plus récemment Scholze. En utilisant le formalisme des espaces adiques de Huber et le formalisme des espaces perfectoïdes de Scholze, nous globalisons ces constructions afin de donner plusieurs descriptions des systèmes locaux étales sur des espaces analytiques sur des corps $p$-adiques. L'une de ces descriptions utilise une version relative de la courbe de Fargues-Fontaine.