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Algorithmes en géométrie algébrique réelle : synthèse

Algorithms in Real Algebraic Geometry : A Survey

Saugata Basu
Algorithmes en géométrie algébrique réelle : synthèse
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  • Année : 2017
  • Tome : 51
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14P10, 14P25; 68W30
  • Pages : 107-153
On expose dans ce texte les résultats anciens et récents en théorie algorithmique de la géometrie algébrique réelle. On commence par décrire des méthodes effectives d'élimination des quantificateurs dans la théorie réelle du premier ordre initiée par Tarski et Seidenberg. On aborde également les problèmes liés à cette théorie. On décrit ensuite les algorithmes récents permettant de calculer des invariants topologiques des ensembles semi-algébriques. On s'intéresse plus particulièrement à la complexité de ces algorithmes. On analyse ensuite les liens entre la complexité des problèmes de décisions dans la théorie réelle du premier ordre et le calcul de certains invariants topologiques des ensembles semi-algébriques. On évoque finalement un volet plus numérique de cette théorie avec les méthodes d'optimisation en programmation semi-définie.
We survey both old and new developments in the theory of algorithms in real algebraic geometry—starting from effective quantifier elimination in the first order theory of reals due to Tarski and Seidenberg, to more recent algorithms for computing topological invariants of semi-algebraic sets. We emphasize throughout the complexity aspects of these algorithms and also discuss the computational hardness of the underlying problems. We also describe some recent results linking the computational hardness of decision problems in the first order theory of the reals, with that of computing certain topological invariants of semi-algebraic sets. Even though we mostly concentrate on exact algorithms, we also discuss some numerical approaches involving semi-definite programming that have gained popularity in recent times.
Algorithmes, Complexité, Ensembles Semi-algébriques, Nombres de Betti, Cartes Routières, Elimination des Quantificateurs.
Algorithms, Complexity, Semi-algebraic Sets, Betti Numbers, Roadmaps, Quantifier Elimination.