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Polynômes positifs et sommes de carrés : théorie et pratique

Positive Polynomials and Sums of Squares : Theory and Practice

Victoria Powers
Polynômes positifs et sommes de carrés : théorie et pratique
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  • Année : 2017
  • Tome : 51
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Pages : 155-180
Un polynôme réel $f$ qui est une somme de carrés de polynômes réels est clairement positif sur $\mathbb {R}^n$. L'écriture de $f$ comme somme de carrés est donc un certificat de positivité pour $f$. En généralisant ce type de remarques, de nombreux résultats théoriques mais aussi calculatoires ont été obtenus concernant les polynômes positifs. Dans ce texte, on revient sur l'historique du sujet et on décrit les résultats récents, théoriques et algorithmiques, liés aux certificats de positivité.
If a real polynomial $f$ can be written as a sum of squares of real polynomials, then clearly $f$ is nonnegative on $\mathbb {R} ^n$, and an explicit expression of $f$ as a sum of squares is a certificate of positivity for $f$. This idea, and generalizations of it, underlie a large body of theoretical and computational results concerning positive polynomials and sums of squares. In this survey article, we review the history of the subject and give an overview of recent results, both theoretical results concerning the existence of certificates of positivity and work on computational and algorithmic issues.
Sommes de carrés, polynômes positifs, certificats de positivité, 17<sup>e</sup> problème de Hilbert, Positivstellensätze.
Sums of squares, positive polynomials, certificates of positivity, Hilbert's 17th Problem, Positivstellensätze.