Dans ce mémoire nous présentons une preuve du théorème de Roth (et des variantes plus récentes) basée sur la théorie géométrique des invariants. La démonstration fait intervenir une formule de Burnol-Zhang qui est étudiée en détail dans le texte et mise en relation avec la géométrie analytique $p$-adique à la Berkovich et une conjecture de Bost sur le produit tensoriel de fibrés hermitiens semi-stables sur un corps de nombres.