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Champs d'holonomie markoviens bidimensionnels

Two-Dimensional Markovian Holonomy Fields

Thierry LÉVY
Champs d'holonomie markoviens bidimensionnels
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  • Année : 2010
  • Tome : 329
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 60G60, 60J99, 60G51, 60B15, 57M20, 57M12, 81T13, 81T27
  • Nb. de pages : vi+172
  • ISBN : 978-2-85629-283-9
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.785

Ce travail est consacré à la définition et à l'étude d'une e de processus stochastiques indexés par des chemins tracés sur une surface, qui prennent leurs valeurs dans un groupe de Lie compact et qui satisfont une propriété d'indépendance conditionnelle analogue à la propriété de Markov. Nous appelons ces processus des champs d'holonomie markoviens bidimensionnels. L'exemple fondamental de cette sorte de processus est le processus canonique sous la mesure de Yang-Mills, qui a été construite d'abord par Ambar Sengupta puis plus tard par l'auteur. C'est aussi le seul champ d'holonomie markovien qui ait été construit avant ce travail. Le processus canonique sous la mesure de Yang-Mills est assez exactement aux champs d'holonomie markoviens ce que le mouvement brownien est aux processus de Lévy. Deux de nos principaux résultats affirment qu'à tout champ d'holonomie markovien suffisamment régulier est associé un processus de Lévy d'une certaine e sur le groupe de Lie dans lequel il prend ses valeurs et réciproquement que pour tout processus de Lévy dans cette e il existe un champ d'holonomie markovien auquel il est associé. Dans le cas particulier où le groupe de Lie considéré est un groupe fini, nous parvenons à réaliser ce champ d'holonomie markovien comme la monodromie d'un fibré principal ramifié aléatoire. Ceci nous rapproche de l'interprétation originelle de la mesure de Yang-Mills, issue de la théorie quantique des champs, comme mesure de probabilités sur l'espace des connexions sur un fibré principal.

This text defines and studies a of stochastic processes indexed by curves drawn on a compact surface and taking their values in a compact Lie group. We call these processes two-dimensional Markovian holonomy fields. The prototype of these processes, and the only one to have been constructed before the present work, is the canonical process under the Yang-Mills measure, first defined by Ambar Sengupta and later by the author. The Yang-Mills measure sits in the of Markovian holonomy fields very much like the Brownian motion in the of Lévy processes. We prove that every regular Markovian holonomy field determines a Lévy process of a certain on the Lie group in which it takes its values, and we construct, for each Lévy process in this , a Markovian holonomy field to which it is associated. When the Lie group is in fact a finite group, we give an alternative construction of this Markovian holonomy field as the monodromy of a random ramified principal bundle. Heuristically, this agrees with the physical origin of the Yang-Mills measure as the holonomy of a random connection on a principal bundle.

Champ aléatoire, processus de Markov, processus de Lévy, groupe de Lie compact, graphe sur une surface, chemin rectifiable, revêtement ramifié, Yang-Mills, théorie de jauge sur réseau, limite continue.
Random field, Markov process, Lévy process, compact Lie group, graph on a surface, rectifiable path, ramified covering, Yang-Mills, lattice gauge theory, continuous limit.
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