On étudie la fonctionnelle de Calabi sur une surface réglée au-dessus d'une courbe de genre deux. Pour les polarizations qui n'admettent pas de métrique extrémale, on décrit le comportement d'une suite minimisante partitionnant la variété. On montre aussi que le flot de Calabi partant d'une métrique avec une symétrie appropriée produit une telle suite minimisante.