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Changements de temps des flots nilpotents d’Heisenberg

Time-changes of Heisenberg nilflows

Giovanni FORNI and Adam KANIGOWSKI
Changements de temps des flots nilpotents d’Heisenberg
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  • Année : 2020
  • Tome : 416
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37A25, 37A17, 37A50, 60F05
  • Pages : 253-299
  • DOI : 10.24033/ast.1116

Nous étudions les flots nilpotents de Heisenberg en dimension trois. Sous une condition Diophantienne de mesure pleine sur le générateur du flot, nous montrons l’existence de fonctionnelles de Bufetov, qui sont asymptotiques aux intégrales ergodiques pour toutes les fonctions suffisamment différentiables, qui ont une propriété modulaire, et satisfont une identité de changement d’échelle sous la dynamique de renormalisation. De la propriété asymptotique, nous dérivons  des résultats sur les distributions limites des moyennes ergodiques, qui généralisent les travaux de Griffin et Marklof GM, et Cellarosi et Marklof CM. Ensuite nous montrons une propriété d’analyticité des fonctionnelles dans les directions transverses au flot. Comme conséquence de cette propriété d’analyticité, nous dérivons l’existence d’un ensemble de mesure pleine de flots nilpotents dont les changements de temps génériques (non-triviaux)  sont mélangeant, et de plus ont une vitesse de mélange polynomiale étirée pour toutes les fonctions suffisamment différentiables (cela améliore un résultat de Avila, Forni, et Ulcigrai AFU).  De plus, nous montrons qu’il existe un ensemble de dimension de Hausdorff maximale de flots nilpotents tels que les changements de temps génériques non-triviaux ont une vitesse de mélange polynomiale.

We consider the three dimensional Heisenberg nilflows. Under a full measure set Diophantine condition on the generator of the flow we construct Bufetov functionals which are asymptotic to ergodic integrals for sufficiently smooth functions, have a modular property and  scale exactly under the renormalization dynamics. By the asymptotic property we derive results on limit distributions, which generalize earlier work of Griffin and Marklof GM and Cellarosi and Marklof CM. We then prove analyticity of the functionals in the transverse directions  to the flow. As a consequence of this analyticity property we derive that there exists a full measure set of nilflows such that generic (non-trivial) time-changes are mixing and moreover have a ‘stretched polynomial” decay of correlations for sufficiently smooth functions (this strengthens a result of Avila, Forni,  and Ulcigrai AFU). Moreover we also prove that there exists a full Hausdorff dimension set of nilflows such that generic non-trivial time-changes have polynomial decay of correlations

Flots nilpotents de Heisenberg, renormalisation, distributions limites, changements de temps, mélange, decroissance des correlations.
Heisenberg nilpotent flows, renormalization, limit distributions, time-changes, mixing, decay of correlations
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