Les groupes $S$-arithmétiques constituent une généralisation naturelle des groupes de matrices iques à coefficients dans des anneaux d'entiers de corps de nombres. À la fin des années 80, G. Prasad a démontré une formule calculant le volume des quotients de groupes de Lie par des groupes $S$-arithmétiques. Le principal outil de démonstration est la théorie de Bruhat-Tits des groupes réductifs sur les corps locaux. Un faux plan projectif est une surface complexe compacte avec les mêmes nombres de Betti que (mais non homéomorphe à) $\mathbb {P}^2({\bf C})$. B. Klingler et S.-K. Yeung ont démontré indépendamment que le groupe fondamental d'une telle surface est un groupe arithmétique. Ceci a permis à G. Prasad et S.-K. Yeung, en utilisant la formule de G. Prasad, de considérablement améliorer les précédents résultats de finitude sur le nombre de ces surfaces.