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Exposé Bourbaki 983 : Le problème de Kneser-Tits

Exposé Bourbaki 983 : The Kneser-Tits problem

Philippe GILLE
Exposé Bourbaki 983 : Le problème de Kneser-Tits
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  • Année : 2009
  • Tome : 326
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20G15, 20G30.
  • Pages : 39-82
  • DOI : 10.24033/ast.840

Ce survol porte sur le groupe de Whitehead $W(k, \mathbf {G} )=\mathbf {G} (k)/ \mathbf {G} (k)^+$ d'un $k$-groupe algébrique linéaire $G/k$ isotrope et presque simple. Pour les groupes $\mathop {\mathbf {SL}} _n(D)$, on discute la conjecture d'annulation de Suslin. On donne une démonstration unifiée de résultats de Prasad-Raghunathan et Garibaldi sur la trivialité de $W(k, \mathbf {G} )$ pour les groupes trialitaires, respectivement certains groupes de type $E_6$. Ceci s'applique notamment au cas des corps de nombres.

This survey deals with the Whitehead group $W(k, \mathbf {G} )=\mathbf {G} (k)/ \mathbf {G} (k)^+$ of a linear algebraic $k$-group $G$ which is almost simple and isotropic. For the special linear groups $\mathop {\mathbf {SL}} _n(D)$, we discuss Suslin's vanishing conjecture. We provide a quite uniform proof of results by Prasad-Raghunathan and Garibaldi for the triviality of $W(k, \mathbf {G} )$ for trialitarian groups, respectively for certain groups of type $E_6$. This applies in particular to the number field case.

Groupes algébriques linéaires, corps de nombres, groupes simples.
Linear algebraic groups, number fields, simple groups.