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Corps de Hardy transsériels

Transserial Hardy fields

Joris VAN DER HOEVEN
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  • Année : 2009
  • Tome : 323
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 12H05, 58H05
  • Pages : 453-487
  • DOI : 10.24033/ast.838

Il est bien connu que des corps de Hardy peuvent être étendus par des intégrales, des exponentielles et des solutions d'équations différentielles Pfaffiennes du type $f' = P (f) / Q (f)$. D'un point de vue formel, la théorie des transséries permet la résolution d'équations différentielles algébriques plus générales. Toutefois, cette théorie n'admettait pas encore de contre-partie analytique satisfaisante jusqu'à présent. Dans cet article, nous introduisons la notion de corps de transséries transsériel. Ces corps combinent les avantages des corps de Hardy et de la théorie des transséries. En particulier, nous démontrons que le corps des transséries vérifiant une équation différentiello-algébrique sur ${\mathbb R}\{\{ x^{-1}\}\}$ possède une structure de corps de Hardy transsériel. Réciproquement, nous donnerons une condition suffisante pour l'existence d'une structure transsérielle sur un corps de Hardy donné.

It is well known that Hardy fields can be extended with integrals, exponentials and solutions to Pfaffian first order differential equations $f' = P (f) / Q (f)$. From the formal point of view, the theory of transseries allows for the resolution of more general algebraic differential equations. However, until now, this theory did not admit a satisfactory analytic counterpart. In this paper, we will introduce the notion of a transserial Hardy field. Such fields combine the advantages of Hardy fields and transseries. In particular, we will prove that the field of differentially algebraic transseries over $\mathbb {R}\{ \! \{x^{-1} \} \! \}$ carries a transserial Hardy field structure. Inversely, we will give a sufficient condition for the existence of a transserial Hardy field structure on a given Hardy field.

Transséries, corps de Hardy
Transseries, Hardy fields