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Exposé Bourbaki 984 : Covolume des groupes $S$-arithmétiques et faux plans projectifs

Exposé Bourbaki 984 : Covolume of $S$-arithmetic groups and fake projective planes

Bertrand RÉMY
Exposé Bourbaki 984 : Covolume des groupes $S$-arithmétiques et faux plans projectifs
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  • Année : 2009
  • Tome : 326
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20GXX, 20G25, 20G30, 11F06, 22E40, 32M15, 53C35, 14J29.
  • Pages : 83-130
  • DOI : 10.24033/ast.841

Les groupes $S$-arithmétiques constituent une généralisation naturelle des groupes de matrices iques à coefficients dans des anneaux d'entiers de corps de nombres. À la fin des années 80, G. Prasad a démontré une formule calculant le volume des quotients de groupes de Lie par des groupes $S$-arithmétiques. Le principal outil de démonstration est la théorie de Bruhat-Tits des groupes réductifs sur les corps locaux. Un faux plan projectif est une surface complexe compacte avec les mêmes nombres de Betti que (mais non homéomorphe à) $\mathbb {P}^2({\bf C})$. B. Klingler et S.-K. Yeung ont démontré indépendamment que le groupe fondamental d'une telle surface est un groupe arithmétique. Ceci a permis à G. Prasad et S.-K. Yeung, en utilisant la formule de G. Prasad, de considérablement améliorer les précédents résultats de finitude sur le nombre de ces surfaces.

$S$-arithmetic groups form a natural generalization of ical matrix groups with coefficients in rings of integers of number-fields. By the end of the 80ies, G. Prasad proved a formula computing the volume of quotients of Lie groups by $S$-arithmetic groups. The main tool of the proof is Bruhat-Tits' theory of reductive groups over local fields. A fake projective plane is a compact complex surface with the same Betti numbers as (but not homeomorphic to) $\mathbb {P}^2({\bf C})$. B. Klingler and S.-K. Yeung independently proved that the fundamental group of such a surface is an arithmetic group. This allowed G. Prasad and S.-K. Yeung, using G. Prasad's formula, to considerably improve the previous finiteness results about these surfaces.

Groupe algébrique, groupe de Lie, groupe arithmétique, espace symétrique, surface complexe, corps local, théorie de Bruhat-Tits, fonction arithmétique, covolume, super-rigidité.
Algebraic group, Lie group, arithmetic group, symmetric space, complex surface, local field, Bruhat-Tits theory, arithmetic function, covolume, superrigidity.