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Déploiements des difféomorphismes tangents à l'identité

Unfoldings of tangent to the identity diffeomorphisms

Javier RIBON
Déploiements des difféomorphismes tangents à l'identité
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  • Année : 2009
  • Tome : 323
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37F75, 32H02, 32S65, 32A05
  • Pages : 325-370
  • DOI : 10.24033/ast.833

Cet article est consacré à la ification des déploiements à un paramètre des difféomorphismes analytiques tangents à l'identité, en d'autres termes, les éléments $\varphi $ de $\mbox {Diff}({\mathbb C}^2,0)$ qui sont de la forme $(x,f(x,y))$, avec $(\partial f / \partial y) (0,0) = 1$. Nous fournissons une ification topologique en l'absence de phénomènes de petits diviseurs et la ification analytique des déploiements de codimension finie. Les preuves sont basées sur l'étude des structures stables qui sont invariants par l'action des difféomorphismes. L'outil principal est le recours aux flots réels. Une propriété de non-errance est nécessaire, à savoir la propriété de Rolle dans le cas topologique et la stabilité infinitésimale dans le cas analytique. On prouve aussi que, sous des hypothèses génériques, la e analytique d'un déploiement $\varphi $ ne dépend que des es analytiques des germes de difféomorphismes en dimension $1$ obtenus en localisant le long d'une composante irréductible de l'ensemble des points fixes de $\varphi $.

This paper is devoted to ify one dimensional unfoldings of tangent to the identity analytic diffeomorphisms, in other words elements $\varphi $ of $\mbox {Diff}({\mathbb C}^2,0)$ of the form $(x,f(x,y))$ with $(\partial f/\partial y)(0,0)=1$. We provide the topological ification in absence of small divisors phenomena and an analytic ification of the finite codimension unfoldings. Such results are based on the study of the stable structures preserved by the diffeomorphisms. The main tool is the use of real flows. In both the topological and the analytic cases a non-wandering property is required, namely the Rolle property in the topological setting and infinitesimal stability in the analytic one. We also prove that under generic hypotheses the analytic of an unfolding $\varphi $ depends only on the analytic es of the germs of 1-dimensional diffeomorphisms obtained by localizing along an irreducible component of the fixed points set of $\varphi $.

Classification analytique, ification topologique, difféomorphismes, dynamique locale, champs de vecteurs
Analytic ification, topological ification, diffeomorphisms, local dynamics, vector fields