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Dualité pour les familles lisses en théorie de l'homotopie stable équivariante

Duality for Smooth Families in Equivariant Stable Homotopy Theory

Po HU
Dualité pour les familles lisses en théorie de l'homotopie stable équivariante
     
                
  • Année : 2003
  • Tome : 285
  • Format : Électronique, Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 55P91, 55P42, 55R70
  • Nb. de pages : vi+108
  • ISBN : 2-85629-136-8
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.571

Dans cet article, nous énonçons et démontrons un théorème de dualité pour la catégorie de l'homotopie stable équivariante, en utilisant le langage de la dualité de Verdier provenant de la théorie des faisceaux. Nous travaillons avec la catégorie des spectres $G$-équivariants (pour un groupe de Lie compact $G$) paramétrés par un $G$-espace $X$, et nous considérons une famille lisse équivariante $f: X \to Y$, c'est-à-dire un fibré $G$-équivariant de fibre une variété lisse compacte, et avec des actions de sous-groupes de $G$ variant de manière lisse sur $Y$. Notre résultat principal est alors une équivalence naturelle entre un foncteur image directe $f_\ast $ et un foncteur « image directe à support propre $f_!$ », dans la catégorie de l'homotopie stable équivariante sur $Y$. Les isomorphismes de Wirthmüller et Adams en théorie de l'homotopie stable équivariante apparaissent comme des cas particuliers de ce théorème de dualité.

In this paper, we formulate and prove a duality theorem for the equivariant stable homotopy category, using the language of Verdier duality from sheaf theory. We work with the category of $G$-equivariant spectra (for a compact Lie group $G$) parametrized over a $G$-space $X$, and consider a smooth equivariant family $f: X \to Y$, which is a $G$-equivariant bundle whose fiber is a smooth compact manifold, and with actions of subgroups of $G$ varying smoothly over $Y$. Then our main theorem is a natural equivalence between a certain direct image functor $f_{\ast }$ and a “direct image with proper support functor” $f_!$, in the stable equivariant homotopy category over $Y$. In particular, the Wirthmüller and Adams isomorphisms in equivariant stable homotopy theory turn out to be special cases of this duality theorem.

Dualité de Verdier, théorie de l'homotopie au-dessus d'un espace fixé, isomorphisme d'Adams, isomorphisme de Wirthmüller, théorie de l'homotopie stable équivariante, théorie des faisceaux
Verdier duality, fiberwise homotopy theory, Adams isomorphism, Wirthmüller isomorphism, equivariant stable homotopy theory, sheaf theory

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