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Espace de modules dièdre de Brown et liberté de l'opérade de gravité

Brown's dihedral moduli space and freedom of the gravity operad

Johan Alm, Dan Petersen
Espace de modules dièdre de Brown et liberté de l'opérade de gravité
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  • Année : 2017
  • Tome : 50
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 14H10, 11G55, 55P48, 18D50, 14F40, 11M32
  • Pages : 1081-1122
  • DOI : 10.24033/asens.2340
Francis Brown a introduit une compactification partielle $M_{0,n}^\delta $ de l'espace de modules $M_{0,n}$. Nous démontrons que la coopérade gravité, définie par la cohomologie (décalée en degré) des espaces $M_{0,n}$, est colibre comme coopérade non symétrique anti-cyclique ; de plus, les cogénérateurs sont donnés par les groupes de cohomologie de $M_{0,n}^\delta $. La preuve construit une base explicite de $H^\bullet (M_{0,n})$ en termes de diagrammes. Cette base est compatible avec la cocomposition coopéradique, et admet un sous-ensemble qui est une base de $H^\bullet (M_{0,n}^\delta )$. Nous montrons que nos résultats sont équivalents au fait que $H^k(M_{0,n}^\delta )$ a une structure de Hodge pure de poids $2k$ pour tout $k$, et nous donnons de plus dans notre article une seconde preuve, plus directe, de ce dernier fait. Cette seconde preuve utilise une construction itérative nouvelle et explicite de $M_{0,n}^\delta $ à partir de $\mathbb {A}^{n-3}$ par éclatements et enlèvements de diviseurs, qui est analogue aux constructions de Kapranov et Keel de $\overline M_{0,n}$, respectivement à partir de $\mathbb {P}^{n-3}$ et $(\mathbb {P}^1)^{n-3}$.
Francis Brown introduced a partial compactification $M_{0,n}^\delta $ of the moduli space $M_{0,n}$. We prove that the gravity cooperad, given by the degree-shifted cohomologies of the spaces $M_{0,n}$, is cofree as a nonsymmetric anticyclic cooperad ; moreover, the cogenerators are given by the cohomology groups of $M_{0,n}^\delta $. As part of the proof we construct an explicit diagrammatically defined basis of $H^\bullet (M_{0,n})$ which is compatible with cooperadic cocomposition, and such that a subset forms a basis of $H^\bullet (M_{0,n}^\delta )$. We show that our results are equivalent to the claim that $H^k(M _{0,n}^\delta )$ has a pure Hodge structure of weight $2k$ for all $k$, and we conclude our paper by giving an independent and completely different proof of this fact. The latter proof uses a new and explicit iterative construction of $M _{0,n}^\delta $ from $\mathbb {A} ^{n-3}$ by blow-ups and removing divisors, analogous to Kapranov's and Keel's constructions of $\overline {M} _{0,n}$ from $\mathbb {P} ^{n-3}$ and $(\mathbb {P} ^1)^{n-3}$, respectively.
Espaces de modules des courbes, théorie de Hodge mixte, opérades, valeurs zêta multiples, dualité de Koszul des opérades.
Moduli of curves, mixed Hodge theory, operads, multiple zeta values, Koszul duality for operads.
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