SMF

Généralisations du problème de Lehmer et applications à la conjecture de Zilber-Pink

Generalizations of the Lehmer problem and applications to the Zilber-Pink conjecture

Gaël RÉMOND
Généralisations du problème de Lehmer et applications à la conjecture de Zilber-Pink
  • Consulter un extrait
  • Année : 2017
  • Tome : 52
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11G50, 11G10, 14K15.
  • Pages : 243-284

Nous proposons une présentation unifiée des différents énoncés de minorations de hauteur qui trouvent leur source dans le problème de Lehmer. Elle englobe les versions sur les tores multiplicatifs, les variétés abéliennes, les variantes dites relatives ainsi que le problème de Bogomolov effectif. Cette approche suggère une conjecture dont la formulation est nouvelle même dans le cadre ique des nombres algébriques. Nous examinons ensuite comment ces minorations de hauteur s'appliquent à la conjecture de Zilber-Pink : quitte à retirer un ensembe exceptionnel convenable, l'intersection considérée vérifie une propriété de Northcott et il suffit donc de borner la hauteur pour montrer la finitude.

After a ical introduction to heights, we discuss various generalisations of Lehmer's problem. The framework is that of normalized heights on abelian varieties and tori. We include the study of obstruction indices, relative at the same time to an arbitrary ground field and to an algebraic subgroup. We introduce the notion of a Lehmer group to unify our statements. Usual examples correspond to the trivial group ( ical Lehmer's problem), the torsion group (relative Lehmer's problem) or the whole group of algebraic points (effective Bogomolov's problem) but we show that also all finite rank subgroups are of interest, even in the one-dimensional case. We then discuss the applications of such height lower bounds to the Zilber-Pink conjecture. We show how all the variants quoted can be used to provide a crucial step toward the conjecture : once one knows (by other methods) that the height of the intersection under consideration is bounded, the Lehmer-like bounds allow to get finiteness.

Hauteurs, problème de Lehmer, variétés abéliennes, tores, conjecture de Zilber-Pink.
Heights, Lehmer problem, abelian varieties, tori, Zilber-Pink conjecture.
Prix Électronique
Adhérent -1 €
Non-Adhérent -1 €
Quantité
- +