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Bornes effectives pour la hauteur sur les tores algébriques

Effective Height Upper Bounds on Algebraic Tori

Philipp HABEGGER
Bornes effectives pour la hauteur sur les tores algébriques
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  • Année : 2017
  • Tome : 52
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11G50; 14K15, 14G40, 14J20, 14T05.
  • Pages : 167-242

Soit $X$ une sous-variété fermée, irréductible, définie sur $\overline {\mathbf {Q}} $, dans le tore algébrique $\mathbf {G} _m^n$. Nous donnons un survol des majorations de la hauteur d'un point de $X$, qui est contenu dans un sous-groupe algébrique de dimension $n-\dim X$. Les premiers résultats dans cette direction ont été obtenus par Bombieri-Zannier, dans le cas où $X$ est une hypersurface, et par Bombieri-Masser-Zannier quand $X$ est une courbe. Les majorations de ce type sont utiles pour résoudre quelques cas de la conjecture de Zilber-Pink. L'auteur a démontré une borne pour la hauteur, quand $X$ est de dimension quelconque, en 2009. Nous explicitons ici une majoration effective.

Let $X$ be an irreducible closed subvariety defined over $\overline {\mathbf {Q}} $ of the algebraic torus $\mathbf {G} _m^n$. We give an overview on what is known on upper bounds for the height when intersecting $X$ with an algebraic subgroup of $\mathbf {G} _m^n$ that has dimension $n-\dim X$. Early general results in this directy were obtained by Bombieri-Zannier if $X$ is a hypersurface and Bombieri-Masser-Zannier if $X$ is a curve. Such height bounds are useful in the context of the Zilber-Pink Conjecture. The author proved a height bound for $X$ of arbitrary dimension in 2009. In this paper we give an effective and explicit height upper bound.

Hauteurs, sous-variétés de tores algébriques, bornes explicites, intersections exceptionnelles, sous-groupe algébrique, géométrie tropicale.
Heights, subvarieties of the algebraic torus, explicit bounds, unlikely intersections, algebraic subgroups, tropical geometry.
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