Nous décrivons un algorithme qui permet de calculer une borne supérieure sur le nombre de Picard (arithmétique ou géométrique) d'une surface lisse projective sur un corps fini, en utilisant un calcul de l'action de Frobenius sur la cohomologie $p$-adique en petite précision ; cette question est suggérée par une application à la théorie des codes algébro-géométriques de type LDPC (« low density parity check »), décrits par Voloch et Zarzar. Grâce à une implémentation de cet algorithme en Magma, nous présentons divers exemples : des surfaces quartiques sur $\mathbb {F}_2$ et $\mathbb {F}_3$ dont le nombre de Picard arithmétique est égal à $1$, et une surface quintique sur $\mathbb {F}_2$ dont le nombre de Picard géométrique est égal à $1$. De plus, nous présentons des exemples d'une construction de van Luijk, de certaines surfaces K3 sur un corps fini avec groupe d'automorphismes géométriques trivial ; ceci nécessite de vérifier que le nombre de Picard géométrique de ces surfaces est égal à $2$.