Nous présentons une nouvelle méthode pour construire des courbes de genre $2$ sur un corps fini $\mathbb F _n$ avec un nombre donné de points sur sa jacobienne. Cette méthode a des applications importantes en cryptographie, où des groupes d'ordre premier sont employés pour former des cryptosystèmes fondés sur le logarithme discret. Notre algorithme fournit une alternative à la méthode traditionnelle de multiplication complexe pour construire des courbes de genre $2$. Pour un corps quartique $K$ à multiplication complexe de type primitif, nous calculons les polynômes de e d'Igusa modulo $p$ pour certains petits premiers $p$ et employons le théorème chinois et une borne sur les dénominateurs pour construire les polynômes de e. Nous fournissons également un algorithme pour déterminer les anneaux d'endomorphismes des jacobiennes de courbes ordinaires de genre 2 sur des corps finis, généralisant le travail de Kohel pour les courbes elliptiques.