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Existence de chocs faibles pour des systèmes quasi-linéaires hyperboliques multidimensionnels

Existence of weak shocks for multidimensional quasi-linear hyperbolic systems

Jacques FRANCHETEAU, Guy MÉTIVIER
Existence de chocs faibles pour des systèmes quasi-linéaires hyperboliques multidimensionnels
  • Année : 2000
  • Tome : 268
  • Format : Papier, Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35L67, 35L65, 35L50, 76L05
  • Nb. de pages : viii+198
  • ISBN : 2-85629-092-2
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.503

L'objet de ce travail est l'étude des chocs faibles pour des systèmes de lois de conservation en dimension d'espace deux ou plus. Le résultat principal est la construction dans un domaine indépendant du paramètre $\varepsilon $, de familles de solutions $u^\varepsilon $ ayant une discontinuité sur une hypersurface $\Sigma ^\varepsilon $ avec un saut d'amplitude d'ordre de grandeur $ \varepsilon $. Le problème à $\varepsilon $ fixé a été résolu par A. Majda, comme un problème mixte hyperbolique non linéaire à frontière libre non caractéristique. Lorsque $\varepsilon $ tend vers $0$, le front tend à devenir caractéristique et on doit faire face à un problème de type perturbation singulière avec perte de stabilité et de régularité. Ces pertes mettent en échec les méthodes iques d'obtention des estimations a priori par dérivation de l'équation et de construction de solutions par des schémas itératifs de type Picard. On est conduit à utiliser des outils plus sophistiqués, comme le calcul paradifférentiel pour les estimations a priori et les schémas de type Nash-Moser pour la construction des solutions. Une application importante des résultats concerne les équations d'Euler de la dynamique des gaz. On peut ainsi construire des familles de chocs faibles aussi bien dans le cas du système d'Euler complet que dans le cas du système isentropique. Nos résultats permettent aussi de comparer ces deux familles de chocs faibles.

In this work, we consider weak shocks for systems of conservation laws in any space dimension. The main result is the construction on a space-time domain independent of the parameter $\varepsilon $, of families of weak solutions $u^\varepsilon $, discontinuous along a smooth hypersurface $\Sigma ^\varepsilon $, with jumps of order $\varepsilon $. For a fixed $\varepsilon $, the problem can be recast as a nonlinear mixed hyperbolic problem with a free noncharacteristic boundary. It has been solved by A. Majda. When $\varepsilon $ tends to zero, the front tends to be characteristic. This induces a loss of of stability and regularity. As a consequence, the ical nonlinear methods based on Picard's iterations and differentiation of the equations do not apply. In this work, to prove the suitable a priori estimates and to construct the solutions, we use more sophisticated methods such as the para-differential calculus and Nash-Moser's type iteration schemes. An important application of our results concerns Euler's equations of gas dynamics. They apply to the full system and to the isentropic system. We construct and compare weak shock solutions of these two systems.

Systèmes de lois de conservations, ondes de choc, problèmes mixtes hyperboliques non linéaires, frontières libres, stabilité, calcul paradifférentiel, schémas de Nash-Moser
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