SMF

Ind-faisceaux

Ind-Sheaves

Masaki Kashiwara, Pierre Schapira
  • Année : 2001
  • Tome : 271
  • Format : Papier
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 18F20, 32C38, 32S60
  • Nb. de pages : vi+136
  • ISBN : 2-85629-099-X
  • ISSN : 0303-1179
  • DOI : 10.24033/ast.506
La théorie des faisceaux n'est pas bien adaptée à l'étude de divers objets de l'Analyse qui ne sont pas définis par des propriétés locales. Le but de cet article est de montrer que l'on peut surmonter cette difficulté en élargissant la catégorie des faisceaux à celle des ind-faisceaux, et étendre à ceux-ci le formalisme des faisceaux. Soit $X$ un espace localement compact et soit $k$ un anneau commutatif. Nous définissons la catégorie $\mathrm {I}(k_X)$ des ind-faisceaux de $k$-modules sur $X$ comme la catégorie des ind-objets de la catégorie $\textrm {Mod}^c(k_X)$ des faisceaux de $k$-modules sur $X$ à support compact, et nous construisons les « six opérations de Grothendieck »dans la catégorie dérivée des ind-faisceaux, ainsi que de nouveaux foncteurs qui apparaissent naturellement. Une méthode pour construire des ind-faisceaux est l'utilisation de topologies de Grothendieck associées à des familles $\mathcal {T}$ d'ouverts de $X$ satisfaisant certaines propriétés. Les faisceaux sur le site $X_{\mathcal {T}}$ définissent alors naturellement des ind-faisceaux. Quand $X$ est une variété analytique, nous considérons le site sous-analytique $X_{sa}$ associé à la famille des ouverts sous-analytiques et nous construisons ainsi divers ind-faisceaux. Nous obtenons en particulier le ind-faisceau $\mathcal {C}_X^{\infty ,t}$ des fonctions $C^\infty $ tempérées, le ind-faisceau $\mathcal {C}_X^{\infty ,w}$ des fonctions $C^\infty $ de type Whitney, et le ind-faisceau $\mathcal {D} b_X^{t}$ des distributions tempérées. Sur une variété complexe $X$, nous concentrons notre étude sur le ind-faisceau $\mathcal {O}_X^t$ des « fonctions holomorphes tempérées »et prouvons une formule d'adjonction dans ce cadre.
Sheaf theory is not well suited to the study of various objects in Analysis which are not defined by local properties. The aim of this paper is to show that it is possible to overcome this difficulty by enlarging the category of sheaves to that of ind-sheaves, and by extending to ind-sheaves the machinery of sheaves. Let $X$ be a locally compact topological space and let $k$ be a commutative ring. We define the category $\mathrm {I}(k_X)$ of ind-sheaves of $k$-modules on $X$ as the category of ind-objects of the category $\textrm {Mod}^c(k_X)$ of sheaves of $k$-modules on $X$ with compact support, and we construct “Grothendieck's six operations” in the derived categories of ind-sheaves, as well as new functors which naturally arise. A method for constructing ind-sheaves is the use of Grothendieck topologies associated with families $\mathcal {T}$ of open subsets satisfying suitable properties. Sheaves on the site $X_{\mathcal {T}}$ naturally define ind-sheaves. When $X$ is a real analytic manifold, we consider the subanalytic site $X_{sa}$ associated with the family of open subanalytic subsets, and construct various ind-sheaves by this way. We obtain in particular the ind-sheaf $\mathcal {C}_X^{\infty ,t}$ of tempered $C^\infty $-functions, the ind-sheaf $\mathcal {C}_X^{\infty ,w}$ of Whitney $C^\infty $-functions and the ind-sheaf $\mathcal {D} b_X^{t}$ of tempered distributions. On a complex manifold $X$, we concentrate on the study of the ind-sheaf $\mathcal {O}_X^t$ of “tempered holomorphic functions” and prove an adjunction formula for integral transforms in this framework.
Sheaves, Grothendieck topologies, ind-objects, $D$-modules, moderate cohomology, integral transforms
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