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Expansion asymptotique des applications lisses d’intervalle

Asymptotic expansion of smooth interval maps

Juan RIVERA-LETELIER
Expansion asymptotique des applications lisses d’intervalle
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  • Année : 2020
  • Tome : 416
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 37E05; 37D25, 37C40
  • Pages : 33-63
  • DOI : 10.24033/ast.1110

On associe à chaque application lisse et non dégénérée de l’intervalle un nombre measurant son expansion asymptotique globale. On montre que ce nombre peut etre calculé de plusieurs facons distinctes. En conséquence, plusieurs notions d’hyperbolicité faible concident. De cette facon on obtient une extension aux applications de l’intervalle avec une nombre arbitraire de points critiques du fameux résultat de Nowicki et Sands caractérisant la condition de Collet-Eckmann pour les applications unimodales. Ceci résout aussi une conjecture de Luzzatto en dimension $ 1$.

En combinaison avec un résultat de Nowicki et Przytycki, ces considérations entranent que plusieurs notions d’hyperbolicité faible sont invariantes par conjugaison topologique. Une autre conséquence est pour le formalisme thermodynamique : une application lisse et non dégénérée de l’intervalle possède une transition de phase de haute temperature si et seulement si elle n’est pas Lyapunov hyperbolique.

We associate to each non-degenerate smooth interval map a number measuring its global asymptotic expansion. We show that this number can be calculated in various different ways. A consequence is that several natural notions of nonuniform hyperbolicity coincide. In this way we obtain an extension to interval maps with an arbitrary number of critical points of the remarkable result of Nowicki and Sands characterizing the Collet-Eckmann condition for unimodal maps. This also solves a conjecture of Luzzatto in dimension $ 1$.

Combined with a result of Nowicki and Przytycki, these considerations imply that several natural nonuniform hyperbolicity conditions are invariant under topological conjugacy. Another consequence is for the thermodynamic formalism: A non-degenerate smooth map has a high-temperature phase transition if and only if it is not Lyapunov hyperbolic.

Hyperbolicité faible, vitesses de mélange
Non-uniform hyperbolicity, mixing rates
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- +