Soit  $(a_{ij})$ une matrice symétrique à coefficients positifs. Batson, Spielman et Srivastava ont montré que pour tout  $\epsilon>0$ il existe  $c=c(\epsilon)>0$ et une matrice symétrique  $(b_{ij})$ dont les coefficients sont positifs et telle qu'au plus $cn$ d'entre eux soient non nuls, de sorte que pour tout $(x_1,...,x_n)\in \mathbb{R}^n$ on ait  $$ \sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x_i-x_j)^2\le \sum_{i,j=1}^n b_{ij}(x_i-x_j)^2\le (1+\epsilon)\sum_{i,j=1}^n a_{ij}(x_i-x_j)^2. $$ Nous exposons la démonstration magnifique de ce théorème, ainsi que certaines de ses applications géométriques, dont en particulier une nouvelle preuve du phénom\`ene d'inversibilité  restreinte de Bourgain-Tzafriri,
une amélioration des décompositions de John approchées pour les convexes, et une réduction dimensionnelle dans les espaces $L_p$.