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Exposé Bourbaki 1031 : Correspondance de Langlands $p$-adique, compatibilité local-global et applications d'après Colmez, Emerton, Kisin, ...

Exposé Bourbaki 1031 : $p$-adic Langlands correspondence, local-global compatibility and applications after Colmez, Emerton, Kisin, ...

Christophe BREUIL
Exposé Bourbaki 1031 : Correspondance de Langlands $p$-adique, compatibilité local-global et applications d'après Colmez, Emerton, Kisin, ...
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  • Année : 2012
  • Tome : 348
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11S37, 11F70, 11F80, 22E55

Emerton vient de montrer que la correspondance de Langlands locale $p$-adique pour ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Q}_p)$ se réalise dans la cohomologie étale $p$-adique "complétée" de la tour des courbes modulaires. Combiné avec des travaux de Colmez et de Kisin (et d'autres), ainsi qu'avec la preuve de la conjecture de modularité de Serre (Khare-Wintenberger), ce résultat a plusieurs conséquences~: conjecture de Fontaine-Mazur décrivant les représentations galoisiennes provenant des formes modulaires, conjecture de Kisin sur l'analogue surconvergent, compatibilité entre correspondance de Langlands $p$-adique et correspondance classique pour ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Q}_p)$, conjecture sur les multiplicités modulaires de Breuil-Mézard...

Emerton just proved that the local $p$-adic Langlands correspondence for $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$ can be realized on the completed $p$-adic étale cohomology of the tower of modular curves. Together with results of Colmez and Kisin (and of others), and with the proof of Serre's modularity conjecture (Khare-Wintenberger), this result has several consequences: the Fontaine-Mazur conjecture describing those Galois representations that come from modular forms, the ``overconvergent analogue" of this conjecture due to Kisin, the compatibility between the $p$-adic and classical correspondences for ${\mathrm{GL}}_2(\mathbb{Q}_p)$, the conjecture on modular multiplicities of Breuil-Mézard, ...

Programme de Langlands $p$-adique, $\mathrm{GL}_2(\mathbb{Q}_p)$, cohomologie complétée, compatibilité local-global
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