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Exposé Bourbaki 1034 : Inégalités isopérimétriques quantitatives via le transport optimal d'après A. Figalli, F. Maggi et A. Pratelli

Exposé Bourbaki 1034 : Quantitative isoperimetric inequalities via optimal transport after A. Figalli, F. Maggi et A. Pratelli

Filippo SANTAMBROGIO
Exposé Bourbaki 1034 : Inégalités isopérimétriques quantitatives via le transport optimal d'après A. Figalli, F. Maggi et A. Pratelli
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  • Année : 2012
  • Tome : 348
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 26A45, 53A10, 49Q15, 28A75
  • Pages : 219-231

L'inégalité isopérimétrique est une inégalité géométrique qui établit une relation entre le volume et le périmètre d'une forme dans $\mathbb{R}^n$. Connue dans sa forme plus simple depuis l'antiquité, comme son nom l'indique elle concerne la recherche du corps qui, à périmètre égal, maximise le volume. De manière analogue, elle indique aussi l'objet qui minimise le périmètre à volume fixé et, comme on sait que la forme optimale est celle de la boule, en connaissant son volume et son périmètre et en choisissant une formulation invariante par dilatations, on peut l'écrire comme une inégalité vraie pour tout ensemble $E\subset\mathbb{R}^n$
\begin{equation}\label{prima}
P(E)\geq n |E|^{1-\frac 1n}|B|^{\frac 1n},
\end{equation} où $P$ indique le périmètre, $|\cdot|$ la mesure de Lebesgue $n$-dimensionnelle, et $B$ la boule unité de $\mathbb{R}^n$.

The classical isoperimetric inequality prescribes the maximal volume of a body in $\mathbb{R}^n$ under a perimeter constraint. Since the optimum is given by the ball $B$, it gives $P(E)\geq n|E|^{1-\frac 1n}|B|^{\frac 1n}$ for any $E\subset\mathbb{R}^n$. Its anisotropic version concerns the $K-$perimeter $P_K$, defined from a convex body $K\subset\mathbb{R}^n$, and it reads $P_K(E)\geq n|E|^{1-\frac 1n}|K|^{\frac 1n}$; the optimum is realized by $K$. A quantitative version of these inequalities means estimating the difference $P(E)\!-\!n|E|^{1-\frac 1n}|B|^{\frac 1n}$ in terms of ``how much $E$ is different from $B$''. The optimal quantitative version of the classical inequality has been proved in 2008 by Fusco, Maggi and Pratelli through some symmetrization methods, peculiar to the isotropic case. The works that I'll present have allowed, thanks to the application of the Brenier transport, to get the same result in the anisotropic case.

BV functions, Brenier transport, trace Sobolev inequality, asymmetry, convex bodies
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