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Exposé Bourbaki 1042 : Existence globale et scattering pour les solutions de masse finie de l'équation de Schrödinger cubique en dimension deux

Exposé Bourbaki 1042 : Global existence and scattering for the mass critical nonlinear Schrödinger equation in two space dimensions after Benjamin Dodson, Rowan Killip, Terence Tao, Monica Viçan and Xiaoyi Zhang

Fabrice PLANCHON
Exposé Bourbaki 1042 : Existence globale et scattering pour les solutions de masse finie de l'équation de Schrödinger cubique  en dimension deux
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  • Année : 2012
  • Tome : 348
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 35Q55, 35B40, 35B44, 35P25
  • Pages : 425-447

L'équation de Schrödinger à non-linéarité cubique admet des solutions locales en temps pour des données de masse finie. Il était conjecturé depuis longtemps que sous cette seule hypothèse (dans le
cas défocalisant), les solutions étaient en fait globales et proches de solutions linéaires à grand temps (scattering). Nous donnerons les éléments principaux de la preuve, qui suit une stratégie initiée par Kenig-Merle sur des problèmes du même type : existence de solutions minimales niant la conjecture (Tao-Viçan-Zhang), et leur exclusion par l'utilisation judicieuse de formules de monotonie liées à la dispersion, en particulier dans le cas non radial où la contribution récente de Dodson donne finalement la preuve complète de la conjecture.

The cubic nonlinear Schrödinger equation is locally well-posed for data with finite mass. It had been conjectured for a long time that such solutions were global in time and scattering toward linear solutions in the defocusing case, and that the same holds true in the focusing case provided the mass was strictly less than the ground state mass. We provide an outline of the recently completed proof, which follows the Kenig-Merle roadmap for critical problems: one constructs minimal blow-up solutions which do not scatter (Tao-Vi\c{s}an-Zhang), and then these solutions are excluded by using monotonicity formulae related to the dispersive effects; emphasis is on the non-radial case, which was finally completed by Dodson.

Existence, asymptotique, diffusion, équation de Schrödinger nonlinéaire
Existence, asymptotics, scattering, nonlinear Schr\"odinger equation
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