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Exposé Bourbaki 1041 : Le déterminant jacobien d'après Brezis et Nguyen

Exposé Bourbaki 1041 : The Jacobian determinant following Brezis et Nguyen

Petru MIRONESCU
Exposé Bourbaki 1041 : Le déterminant jacobien d'après Brezis et Nguyen
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  • Année : 2012
  • Tome : 348
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 46E35
  • Pages : 405-424

Le déterminant jacobien $j(u)$ d'une application $u:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ est bien défini si, par exemple, $u\in C^1$. La théorie de l'élasticité non-linéaire (Ball, 1977) et celle des cristaux liquides (Brezis, Coron, Lieb, 1986) font intervenir $j(u)$ pour des $u$ moins régulières. C'est une identité de Morrey (1966) qui permet d'aller au-delà de $C^1$. Je présenterai une brève histoire de $j(u)$, du théorème de compacité de Reshetnyak (1968) aux résultats récents de Brezis et Nguyen (2010) caractérisant les espaces fonctionnels dans lesquels $j(u)$ est bien défini.

The Jacobian determinant $j(u)$ of a map $u:\mathbb R^n\to\mathbb R^n$ is well-defined if, say, $u\in C^1$. Nonlinear elasticity (Ball, 1977) or liquid crystals (Brezis, Coron, Lieb, 1986) require defining $j(u)$ beyond $C^1$. An identity of Morrey (1966) allows to lower the regularity of $u$ in the definition of $j(u)$. I will present a brief history of $j(u)$, from Reshetnyak's compactness theorem (1968) to the recent results of Brezis and Nguyen (2010) characterizing the functional setting allowing to define $j(u)$.

Déterminant jacobien, espaces de Sobolev
Jacobian determinant, Sobolev spaces
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