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Exposé Bourbaki 1040 : Un théorème de Torelli global pour les variétés hyperkählériennes d'après M. Verbitsky

Exposé Bourbaki 1040 : A Global Torelli theorem for hyperkähler manifolds after M. Verbitsky

Daniel HUYBRECHTS
Exposé Bourbaki 1040 : Un théorème de Torelli global pour les variétés hyperkählériennes d'après M. Verbitsky
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  • Année : 2012
  • Tome : 348
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 53C26, 14J28, 32J27
  • Pages : 375-403

Le théorème de Torelli global, résultat central de la théorie des surfaces K3, montre qu'une surface K3 $S$ est déterminée par sa structure de Hodge intégrale $H^2(S,{\mathbb Z})$. Autrement dit, l'application des périodes est injective. Il est connu qu'un tel théorème n'est pas valable en dimension supérieure. L'exposé est consacré à un résultat de Verbitsky qui montre l'injectivité de l'application des périodes restreinte à  des composantes connexes de l'espace  de modules. C'est donc l'existence de plusieures composantes connexes de l'espace des modules qui explique pourquoi le  théorème de Torelli global  n'est pas vérifié en dimension supérieure.

The Global Torelli theorem asserts that two K3 surfaces are isomorphic if and only if their weight-two Hodge structures $H^2(S,{\mathbb Z})$ are isometric. In other words, the period map for K3 surfaces is injective. The higher-dimensional version of this theorem for compact hyperkähler manifolds is known to fail. The talk will discuss a result of Verbitsky which proves that the period map is injective when restricted to connected components of the moduli space. It is, therefore, the existence of various connected components of the moduli space that is behind this failure.

Variétés hyperkählériennes, théorème de Torelli global, surfaces K3
Hyperkähler manifolds, Global Torelli theorem, K3 surfaces
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