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Exposé Bourbaki 1090 : La propriété noethérienne pour les foncteurs entre espaces vectoriels

Exposé Bourbaki 1090 : Noetherian properties for functors between vector spaces

Aurélien DJAMENT
Exposé Bourbaki 1090 : La propriété noethérienne pour les foncteurs entre espaces vectoriels
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  • Année : 2016
  • Tome : 380
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : primaires : 18A25, 06A07, 16P40 ; secondaires 18A40, 18E15, 20J06, 55S10.
  • Pages : 35-60
  • DOI : 10.24033/ast.984

Les bases de Gröbner permettent de démontrer le théorème de la base de Hilbert, en ramenant le caractère noethérien à une propriété combinatoire d'ensembles ordonnés. A. Putman, S. Sam et A. Snowden viennent de développer cette idée pour montrer des résultats de finitude sur les foncteurs. Un cas particulier de leurs travaux est la démonstration d'une conjecture émise à la fin des années 1980 par J. Lannes et L. Schwartz : la catégorie des foncteurs entre espaces vectoriels sur un corps fini $k$ est localement noethérienne. Cela revient à dire que, pour tout entier $n$, le foncteur $V\to k[V^n]$ est noethérien. Seul le cas $n=1$ est facile ; le problème était ouvert pour $n\geq 4$ avant les travaux susmentionnés.

Gröbner basis permits to prove Hilbert's basis Theorem from a combinatorial property of posets. A. Putman, S. Sam and A. Snowden have just developed this idea to prove finiteness results for functors. A particular case of their work is the proof of a conjecture that J. Lannes and L. Schwartz made in the late eighties : the category of functors between vector spaces over a finite field $k$ is locally noetherian. It is equivalent to the following statement : for every non-negative integer $n$, the functor $V\to k[V^n]$ is noetherian. Only the case $n=1$ is easy ; before the aforementioned works, the problem was open for $n\geq 4$.

Catégories de foncteurs, objets noethériens, ensembles ordonnés, bases de Gröbner.
Functor categories, noetherian objects, Gröbner basis.
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