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Exposé Bourbaki 1092 : Rigidité des ${\rm SL}_2(\mathbb R)$-orbites dans les espaces de modules de surfaces plates

Exposé Bourbaki 1092 : Rigidity of ${\rm SL}_2(\mathbb R)$-orbits in moduli spaces of flat surfaces

Jean-François QUINT
Exposé Bourbaki 1092 : Rigidité des ${\rm SL}_2(\mathbb R)$-orbites dans les espaces de modules de surfaces plates
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  • Année : 2016
  • Tome : 380
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 37C40, 37D25, 37D40, 57M50.
  • Pages : 83-138
  • DOI : 10.24033/ast.986

Récemment, Eskin, Mirzkhani et partiellement Mohammadi ont établi des résultats de rigidité pour les adhérences de ${\rm SL}_2(\mathbb R)$-orbites dans les espaces de modules de surfaces plates à singularités coniques, vérifiant ainsi une conjecture de McMullen. Ces résultats reposent sur une analogie entre l'action de ${\rm SL}_2(\mathbb R)$ sur ces espaces et son action sur les espaces homogènes de volume fini, où les propriétés de rigidité découlent des théorèmes de Ratner. Ils entraînent des conséquences sur le comptage de trajectoires périodiques dans les billards plans polygonaux et à angles rationnels. Je m'efforcerai de donner une introduction à ces travaux.

Recently, Eskin, Mirzakhani and partially Mohammadi establish rigidity results for the ${\rm SL}_2(\mathbb R)$-orbits in moduli spaces of flat surfaces with conical singularities, which were conjectured by McMullen. These results rely on an analogy between the ${\rm SL}_2(\mathbb R)$ action on these spaces and its action on finite volume homogeneous spaces, where the rigidity properties follow from Ratner's theorems. They allow to get counting results for peridoic trajectories in planar polygonal billards with rational angles. I will try to give an introduction to this work.

Espaces de modules, surfaces plates, billards, systèmes dynamiques, exposants de Lyapunov.
Moduli spaces, flat surfaces, billards, dynamical systems, Lyapunov exponents.
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