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Exposé Bourbaki 1095 : Métriques de Kähler-Einstein sur les variétés de Fano

Exposé Bourbaki 1095 : Kähler-Einstein metrics on Fano manifolds

Philippe EYSSIDIEUX
Exposé Bourbaki 1095 : Métriques de Kähler-Einstein sur les variétés de Fano
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  • Année : 2016
  • Tome : 380
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53C55, 53C25, 14J45, 32Q20, 32W20.
  • Pages : 207-229
  • DOI : 10.24033/ast.989

Une conjecture centrale de Géométrie kählérienne, d'abord formulée par Yau puis précisée par Tian et Donaldson, prédit qu'une variété projective lisse complexe polarisée admet une métrique kählérienne de courbure scalaire constante si et seulement si elle est stable en un sens approprié issu de la théorie géométrique des invariants. Dans le cas de la polarisation anticanonique sur une variété de Fano, elle prédit l'équivalence entre existence d'une métrique de Kähler-Einstein et $K$-polystabilité. La direction la plus difficile – l'existence de la métrique – a été établie récemment de façon simultanée par Chen-Donaldson-Sun et Tian par une méthode de continuité singulière dont le succès repose sur un énoncé d'algébricité de certaines limites de Gromov-Hausdorff de variétés kählériennes. L'exposé expliquera les grandes lignes de cette solution.

According to a central conjecture in Kähler Geometry, first formulated by Yau and made more precise by Donaldson and Tian, a polarized smooth complex projective manifold carries a constant scalar curvature metric if and only if it is stable in an appropriate sense derived from Geometric Invariant Theory. In the Fano case with anticanonical polarization, it predicts that the existence of a Kähler-Einstein metric is equivalent to $K$-stability. The most difficult direction has been recently settled by Chen-Donaldson-Sun and Tian by a singular continuity method which relies on an algebraicity statement for certain Gromov-Hausdorff limits of Kähler manifolds. The talk will give an outline of this solution.

Métriques de Kähler-Einstein, variétés de Fano.
Kähler-Einstein metrics, Fano manifolds.
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