Une conjecture centrale de Géométrie kählérienne, d'abord formulée par Yau puis précisée par Tian et Donaldson, prédit qu'une variété projective lisse complexe polarisée admet une métrique kählérienne de courbure scalaire constante si et seulement si elle est stable en un sens approprié issu de la théorie géométrique des invariants. Dans le cas de la polarisation anticanonique sur une variété de Fano, elle prédit l'équivalence entre existence d'une métrique de Kähler-Einstein et $K$-polystabilité. La direction la plus difficile – l'existence de la métrique – a été établie récemment de façon simultanée par Chen-Donaldson-Sun et Tian par une méthode de continuité singulière dont le succès repose sur un énoncé d'algébricité de certaines limites de Gromov-Hausdorff de variétés kählériennes. L'exposé expliquera les grandes lignes de cette solution.