La théorie des courants développée dans les années 70 par Federer et Fleming fournit des solutions faibles (courants minimiseurs d'aire) au problème de Plateau sans restriction sur la dimension ni la codimension. Outre son intérêt intrinsèque, la théorie de la régularité des courants a également été à l'origine de nombreux résultats de régularité pour des équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques, y compris pour des problèmes sans liens avec la géométrie. La théorie de la régularité des courants minimaux débute avec les travaux fondateurs de De Giorgi pour des courants de codimension 1, autrement dit des hypersurfaces au sens faible, et atteint son apogée avec le travail monumental (y compris dans sa forme) de F.J. Almgren qui obtient un résultat optimal pour des courants de codimension arbitraire. Ces dernières années, les travaux d'Almgren ont été revisités, améliorés et simplifiés par endroits dans une série d'articles de De Lellis et Spadaro. Dans ce séminaire, je décrirai ces développements récents en mettant l'accent sur les idées techniques principales.