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Exposé Bourbaki 1093 : Théorie de la régularité des courants intégraux minimiseurs d'aire

Exposé Bourbaki 1093 : The regularity theory of area-minimizing integral currents

Luigi AMBROSIO
Exposé Bourbaki 1093 : Théorie de la régularité des courants intégraux minimiseurs d'aire
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  • Année : 2016
  • Tome : 380
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 49Q15, 49Q20, 49N60.
  • Pages : 139-169
  • DOI : 10.24033/ast.987

La théorie des courants développée dans les années 70 par Federer et Fleming fournit des solutions faibles (courants minimiseurs d'aire) au problème de Plateau sans restriction sur la dimension ni la codimension. Outre son intérêt intrinsèque, la théorie de la régularité des courants a également été à l'origine de nombreux résultats de régularité pour des équations aux dérivées partielles elliptiques et paraboliques, y compris pour des problèmes sans liens avec la géométrie. La théorie de la régularité des courants minimaux débute avec les travaux fondateurs de De Giorgi pour des courants de codimension 1, autrement dit des hypersurfaces au sens faible, et atteint son apogée avec le travail monumental (y compris dans sa forme) de F.J. Almgren qui obtient un résultat optimal pour des courants de codimension arbitraire. Ces dernières années, les travaux d'Almgren ont été revisités, améliorés et simplifiés par endroits dans une série d'articles de De Lellis et Spadaro. Dans ce séminaire, je décrirai ces développements récents en mettant l'accent sur les idées techniques principales.

The theory of currents, developed in the '70 by Federer and Fleming, provides weak solutions (area-minimizing currents) to Plateau's problem with no restriction on dimension and codimension. The regularity theory of area-minimizing currents, besides its intrinsic interest, has been the source of inspiration for many regularity theorems in elliptic and parabolic partial differential equations even in a non-geometric context. The regularity theory of area-minimizing currents started with the seminal work of De Giorgi for codimension one currents, namely weak hypersurfaces, and culminated in a monumental work (even in terms of size) by F.J. Almgren, who established an optimal result for currents of arbitrary codimension. In the last few years Almgren's work has been revisited, improved and streamlined in a series of papers by De Lellis and Spadaro. The seminar will describe these recent developments, emphasizing the key technical ideas.

Currents, Regularity, Plateau's problem.
Courants, Régularité, Problème de Plateau.
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