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Exposé Bourbaki 1096 : Zéro-cycles et points rationnels sur les fibrations en variétés rationnellement connexes

Exposé Bourbaki 1096 : Zero-cycles and rational points on fibrations in rationally connected varieties

David HARARI
Exposé Bourbaki 1096 : Zéro-cycles et points rationnels sur les fibrations en variétés rationnellement connexes
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  • Année : 2016
  • Tome : 380
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11G35, 14G25.
  • Pages : 231-262
  • DOI : 10.24033/ast.990

Soit $X$ une variété algébrique définie sur $\bf Q$, possédant des points dans $\bf R$ et dans tous les ${\bf Q}_p$. Colliot-Thélène a conjecturé que, pour $X$ rationnellement connexe (par exemple unirationnelle), une certaine obstruction cohomologique (dite de Brauer-Manin) à l'existence d'un point rationnel était la seule ; il existe aussi une conjecture analogue en remplaçant les points rationnels par les zéro-cycles de degré $1$. Une méthode d'attaque fructueuse utilisée depuis trente ans consiste à considérer une famille $X \to {\bf P}^1$ de variétés rationnellement connexes et à essayer de démontrer que la conjecture vaut pour l'espace total si on la connaît pour les fibres. Le but de cet exposé est d'expliquer une avancée récente décisive de Y. Harpaz et O. Wittenberg, qui ont obtenu un tel théorème sous des hypothèses très générales pour les zéro-cycles, ainsi que d'importantes avancées pour les points rationnels en se basant sur un théorème de combinatoire additive dû à L. Matthiesen.

Let $X$ be an algebraic variety defined over $\bf Q$, such that $X$ has points in $\bf R$ and in every $p$-adic field ${\bf Q}_p$. Colliot-Thélène has conjectured that for $X$ rationally connected (e.g., unirational), a cohomological obstruction (the so-called Brauer-Manin obstruction) is the only one ; a similar conjecture exists if one replaces rational points by zero-cycles of degree one. A fruitful method to prove these conjectures has been put forward for thirty years : it consists of considering a family $X\to {\bf P}^1$ of rationally connected varieties, and trying to prove that the total space satisfies the conjectures if the fibres do so. The goal of this talk is to explain a crucial progress made recently by Y. Harpaz and O. Wittenberg : they proved such a theorem (under very general assumptions) for zero-cycles, and also important partial results for rational points thanks to a result in additive combinatorics due to L. Matthiesen.

Groupe de Brauer, méthode des fibrations, groupes de Chow, principe local-global.
Brauer group, fibration method, Chow groups, local-global principle.
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