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Exposé Bourbaki 1094 : De nouvelles utilisations du principe du maximum en géométrie

Exposé Bourbaki 1094 : New utilisation of the maximum principles in geometry

Gilles CARRON
Exposé Bourbaki 1094 : De nouvelles utilisations du principe du maximum en géométrie
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  • Année : 2016
  • Tome : 380
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : Principal : 35B50 ; secondaires : 35P15, 53C44, 53A10.
  • Pages : 171-206
  • DOI : 10.24033/ast.988

Le principe du maximum est un outil simple mais puissant pour étudier des problèmes géométriques qui se formulent à l'aide d'une équation scalaire aux dérivées partielles elliptique ou parabolique. Des formules à la Bochner permettent également d'étudier des systèmes d'équations aux dérivées partielles. Cet outil avait par exemple été utilisé par S-T. Yau et T. Aubin dans la résolution du problème de Calabi pour obtenir des estimées a priori des solutions d'une équation de Monge-Ampère. Récemment des techniques de doublement de variables ont permis la résolution de deux problèmes célèbres : la conjecture de Lawson à propos des $2$-tores plongés minimalement dans la sphère $\mathbb {S}^3$ par S. Brendle et la conjecture de l'écart fondamental qui permet une minoration optimale de l'écart entre les deux premières valeurs propres d'un domaine convexe de l'espace euclidien par B. Andrews et J. Clutterbuck. On veut donc se servir de la présentation de la preuve de ces deux résultats pour illustrer l'efficacité et l'élégance de ce nouvel outil.

The maximum principle is simple but quite efficient in order to study geometric problems that can be formulated in terms of an elliptic or parabolic partial differential equations. Bochner's type formula enables also to study elliptic systems. This tool has been for instance a crucial ingredient in the solution of the Calabi conjecture solved by T. Aubin and S.-T. Yau. Recently, two important conjectures have been solved with a maximum principle applied to a well chosen two-points function : the Lawson conjecture about minimal torus in the $3$-sphere by S. Brendle and the fundamental gap conjecture that gives an optimal lower bound for the difference between the two first Dirichlet eigenvalues of an Euclidean convex domain by B. Andrews and J. Clutterbuck. We want to present the proof of these two conjectures in order to illustrate the beauty and efficiency of these ideas.

Principe du maximum, estimation spectrale, surface minimale.
Maximum principle, estimation of eigenvalues, minimal surface.
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