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Exposé Bourbaki 1103 : Variétés lorentziennes plates vues comme limites de variétés anti-de Sitter

Exposé Bourbaki 1103 : Flat Lorentzian manifolds as limits of anti-de Sitter manifolds

Jean-Marc SCHLENKER
Exposé Bourbaki 1103 : Variétés lorentziennes plates vues comme limites de variétés anti-de Sitter
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  • Année : 2016
  • Tome : 380
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 20H10, 30F60, 32G15, 53C50.
  • Pages : 475-497
  • DOI : 10.24033/ast.997

Les espaces-temps de Margulis sont des quotients de l'espace de Minkowski de dimension 3 par des groupes libres agissant proprement discontinuement. Goldman, Labourie et Margulis ont montré qu'ils sont déterminés par une surface hyperbolique convexe co-compacte $S$ munie d'une déformation de la métrique qui fait décroître uniformément les longueurs des géodésiques fermées. Danciger, Guéritaud et Kassel montrent que ces espaces sont des $\mathbb R$-fibrés principaux sur $S$ avec pour fibres des géodésiques de types temps, qu'ils sont homéomorphes à l'intérieur d'un bretzel, et qu'ils admettent un domaine fondamental bordé par des « plans croches » (crooked planes). Pour cela ils montrent que ces espaces-temps sont des versions « infinitésimales » de variétés anti-de Sitter de dimension $3$ et sont conduits à introduire une paramétrisation nouvelle de l'espace des déformations d'une surface hyperbolique qui augmentent les longueurs de toutes les courbes fermées.

Margulis space-times are quotients of the 3-dimensional Minkowski space by (non-abelian) free groups acting propertly discontinuously. Goldman, Labourie and Margulis have shown that they are determined by a convex co-compact hyperbolic surface $S$ along with a first-order deformation of the metric which uniformly decreases the lengths of closed geodesics. Danciger, Guéritaud and Kassel show that those space-times are principal $\mathbb R$-bundles over $S$ with time-like geodesics as fibers, that they are homeomorphic to the interior of a handlebody, and that they admit a fundamental domain bounded by crooked planes. To obtain those results they show that those Margulis space-times are “infinitesimal” versions of 3-dimensional anti-de Sitter manifolds, and are lead to introduce a new parameterization of the space of deformations of a hyperbolic surface that increase the lengths of all closed geodesics.

Variétés lorentziennes, anti-de Sitter, espaces-temps de Margulis, surfaces hyperboliques, feuilletages de type temps.
Lorentzian manifolds, anti-de Sitter, Margulis space-times, hyperbolic surfaces, time-like foliations.
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