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Exposé Bourbaki 1102 : Construction de représentations galoisiennes de torsion

Exposé Bourbaki 1102 : Construction of torsion Galois representations

Sophie MOREL
Exposé Bourbaki 1102 : Construction de représentations galoisiennes de torsion
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  • Année : 2016
  • Tome : 380
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 11F75, 11G18, 14L05, 14G35, 14G22.
  • Pages : 449-473
  • DOI : 10.24033/ast.996

Soit $X$ une variété hyperbolique de dimension 3, quotient de l'espace hyperbolique par un groupe « arithmétique » d'isométries. Le programme de Langlands prédit que la cohomologie singulière de $X$ à coefficients dans $\mathbf Z/n\mathbf Z$ a une action naturelle du groupe de Galois absolu d'un corps de nombres ; ceci est surprenant a priori car $X$ n'est pas une variété algébrique. L'idée est de relier la cohomologie de torsion de $X$ à celle d'un autre espace localement symétrique qui se trouve être une variété de Shimura, donc en particulier une variété algébrique définie sur un corps de nombres. Cette idée a été mise en œuvre indépendamment par Harris-Lan-Taylor-Thorne, Scholze et Boxer (l'ordre est chronologique, et les trois articles traitent un cas plus général que celui présenté ici). Nous nous concentrerons sur l'approche de Scholze.

Let $X$ be a 3-dimensional hyperbolic variety which is a quotient of hyperbolic 3-space by an “arithmetic” group of isometries. The Langlands program predicts that the singular cohomology of $X$ with coefficients in $\mathbf Z/n\mathbf Z$ should have a natural action of the absolute Galois group of a number field, even though $X$ is not an algebraic variety. The idea is to realize the torsion cohomology of $X$ as parts of the torsion cohomology of another locally symmetric space that happens to be a Shimura variety, hence an algebraic variety defined over a number field. This idea has been succesfully implemented by Harris-Lan-Taylor-Thorne, Scholze and Boxer (independently and in chronological order) ; their articles actually treat a much more general case, that of the locally symmetric spaces of a general linear group over a totally real or CM number field. We will try to explain Scholze's approach.

Variétés de Shimura, cohomologie de torsion, représentations galoisiennes de torsion.
Shimura varieties, torsion cohomology, torsion Galois representations.
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