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Exposé Bourbaki 1134 : Le théorème de la valeur moyenne de Vinogradov (d'après Wooley, et Bourgain, Demeter et Guth)

Exposé Bourbaki 1134 : The Vinogradov Mean Value Theorem (after Wooley, and Bourgain, Demeter and Guth)

Lillian B. PIERCE
Exposé Bourbaki 1134 : Le théorème de la valeur moyenne de Vinogradov (d'après Wooley, et Bourgain, Demeter et Guth)
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  • Année : 2019
  • Tome : 407
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Anglais
  • Class. Math. : 11L15, 11L07, 11P55
  • Pages : 479-564
  • DOI : 10.24033/ast.1072

En 1770, Waring a proposé d'étudier les représentations d'un entier comme somme de $s$ puissances $k$-ièmes. Au siècle passé, les raffinements de la méthode du cercle de Hardy-Littlewood ont permis d'obtenir une asymptotique du nombre de telles représentations, le but principal étant de réduire le nombre de termes. Une étape critique de la stratégie de Hardy-Littlewood requiert d'estimer une certaine somme exponentielle ; pendant les soixante-dix dernières années, cette question fut approchée par des versions de plus en plus sophistiquées du théorème de la valeur moyenne de Vinogradov. Récemment, la méthode de  "congruence efficace" de Wooley a permis de s'approcher plus encore de la preuve de la conjecture principale. En abordant le problème sous l'angle du découplage $l^2$, Bourgain, Demeter et Guth ont finalement résolu cette conjecture. L'exposé présentera ces deux approches au théorème de la valeur moyenne de Vinogradov et exposera quelques applications aux problèmes de restriction discrète, au problème de Waring et à la fonction zêta de Riemann.

 

In 1770, Waring proposed the study of representing an integer as a sum of $s$ perfect $k$th powers. Over the past century, the Hardy-Littlewood circle method has been honed to produce an asymptotic for the number of such representations, with a central goal being to reduce the number of variables required. In the Hardy-Littlewood strategy, a critical step is to estimate a relevant exponential sum, which for the past seventy years has been approached via increasingly sophisticated versions of Vinogradov's mean value method. In recent years, Wooley has pushed the field ever closer to a final resolution of the main conjecture, called the Vinogradov Mean Value Theorem, via his efficient congruencing method. Now, by approaching the problem from the perspective of $l^2$ decoupling, Bourgain, Demeter and Guth have finally resolved the main conjecture. This lecture will survey these two approaches to the Vinogradov Mean Value Theorem, and several consequences for discrete restriction problems, Waring's problem, and the Riemann zeta function

Théorème de la valeur moyenne de Vinogradov, découplage, congruence efficace, restriction, Kakeya, méthode du cercle de Hardy-Littlewood, problème de Waring
Vinogradov Mean Value Theorem, decoupling, efficient congruencing, restriction, Kakeya, Hardy-Littlewood circle method, Waring's problem
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