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Exposé Bourbaki 1133 : Densité maximale des empilements de sphères en dimensions 8 et 24 d'après Maryna S. Viazovska $et\ al$.

Exposé Bourbaki 1133 : Densité maximale des empilements de sphères en dimensions 8 et 24 d'après Maryna S. Viazovska $/it et al$.

Joseph OESTERLÉ
Exposé Bourbaki 1133 : Densité maximale des empilements de sphères en dimensions 8 et 24 d'après Maryna S. Viazovska $et\ al$.
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  • Année : 2019
  • Tome : 407
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 52C17; 11H31, 90B80
  • Pages : 455-478
  • DOI : 10.24033/ast.1071

La densité maximale des empilements de sphères (de même rayon) dans un espace euclidien n'était jusqu'à récemment connue qu'en dimensions 1, 2 et 3. Une jeune mathématicienne ukrainienne, Maryna Viazovska, l'a déterminée en 2016 en dimension 8 et peu après, en collaboration avec d'autres mathématiciens, en dimension 24. Cette densité maximale est atteinte en dimension 8 lorsque les centres des sphères forment un réseau de racines de type $\mathrm E_8$, en dimension 24 lorsqu'ils forment un réseau de Leech. Dans les deux cas, ce sont les seuls empilements de sphères périodiques de densité maximale (à homothétie et isométrie près).

 

The maximal density of sphere packings in a euclidean space was until recently known only in dimensions 1, 2 and 3. A young Ukrainian mathematician, Maryna Viazovska, determined it in 2016 in dimension 8 and soon later, in collaboration with other mathematicians, in dimension 24. This maximal density is achieved in dimension 8 when the centers of the spheres form a root lattice of type $\mathrm E_8$, in dimension 24 when they form a Leech lattice. In both cases, these are the only periodical sphere packings with maximal density (up to homothety and isometry).

 

Empilements de sphères, réseau $\mathrm E_8$, réseau de Leech, formes quasi-modulaires
Sphere packings, $\mathrm E_8$ lattice, Leech lattice, quasi-modular forms
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