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Exposé Bourbaki 1132 : Variétés en expansion (d'après M. Gromov, L. Guth,... )

Exposé Bourbaki 1132 : Manifolds in expansion (after M. Gromov, L. Guth, ...)

Nicolas BERGERON
Exposé Bourbaki 1132 : Variétés en expansion (d'après M. Gromov, L. Guth,... )
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  • Année : 2019
  • Tome : 407
  • Format : Électronique
  • Langue de l'ouvrage :
    Français
  • Class. Math. : 53C23
  • Pages : 423-454
  • DOI : 10.24033/ast.1070

Les variétés hyperboliques issues de constructions arithmétiques, dites "de congruences", se comportent, à bien des égards, comme des graphes expanseurs. Une propriété fondamentale de ces derniers, qui est aussi la raison pour laquelle Kolmogorov et Barzdin les considèrent dès 1967, est qu'ils sont durs à plonger dans l'espace. Gromov et Guth proposent de penser aux variétés hyperboliques de congruences, et en particulier à celles qui sont de dimension $3$, comme à des analogues topologiques des graphes expanseurs. Prolongeant le travail de Kolmogorov et Barzdin, Gromov et Guth prouvent notamment que, en un sens que l'on précisera dans l'exposé, les variétés hyperboliques de congruences sont particulièrement dures à plonger dans un espace euclidien. Enfin, dans un registre un peu différent, le lien intime entre variétés de dimension 3 et nœuds leur permet de retrouver un théorème récent de Pardon selon lequel il existe une suite de nœuds dont les plongements requièrent une distorsion arbitrairement grande.

Hyperbolic manifolds derived from arithmetic constructions, called "congruence hyperbolic manifolds", behave in many respects as expander graphs. One fundamental property of these, which is also the reason why Kolmogorov and Barzdin considered them as early as 1967, is that they are hard to embed into Euclidean  spaces. Gromov and Guth propose to think of congruence hyperbolic manifolds, and in particular $3$ dimensional ones, as topological analogues of expander graphs. Building on the work of Kolmogorov and Barzdin, Gromov and Guth prove in particular that, in a sense to be specified in the talk, congruence hyperbolic manifolds are particularly hard to embed into Euclidean spaces. Finally, in a somewhat different register, the intimate link between $3$ dimensional manifolds and knots allows them to give a new proof of a recent theorem of Pardon according to which there are isotopy classes of knots requiring arbitrarily large distortion.

Graphes expanseurs, variétés hyperboliques, nœuds
Expander graphs, hyperbolic manifolds, knots
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